Lebesgue外測度

今日の Marines の試合は雨天中止となったみたいですね.
個人的には非常に残念です・・・・・・・・・・・・が チーム にとっては良かったのでしょうか・・・

もうここらが山場となっていますよね.
ホントにきつくなってきてしまいましたね・・・・・・

ってことで明日からに期待です!!
(晴れたらですが・・・・・・)

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では話はガラッと変わります.
前回の Lebesgue積分の続きです.

1次元 Euclid 空間R での Lebesgue測度についての話です.

Def[Lebesgue外測度] A ⊂ R に対して, A を覆う加算個の開区間の長さの総和の極限 m* := inf{Σn=1∞ |In| ； A ⊂ ∪n=1∞ In} を Lebesgue外測度 と言う . 但し, |(a , b)| = b - a .

A を R 上の1点集合とする ： A = {a} (a ∈ R).
このとき, m^*(A) = 0 .

( Proof )
m^*((a , b)) = m^*([a , b])　－ (☆) より,
∀ε ＞ 0 に対して,
A = {a} ⊂ ∪_n=1^∞ [a , a + ε/2ⁿ] なので,
0 ≦ m^* ≦ Σ_n=1^∞ a + ε/2ⁿ - a
⇔ 0 ≦ m^*(A) ≦ ε
故に, ε は任意だったので m^*(A) = 0 となる.　　　■

集合代数とσ-代数

まずは基本となる Lebesgue積分論 に於ける用語の定義です.

Def X を集合 , M を X 上の部分集合族とする. (1) φ ∈ M (2) A ∈ M ⇒ Ac = X＼A ∈ M を満たす時 , M を 集合代数 と言う. さらに集合代数 M が (3) σ - 加法性 : ∀n ∈ N ( An ∈ M ) ⇒ ∪n=1∞ An ∈ M を満たす時 , M を σ - 代数 と言う. 集合と σ - 代数 の組 (X , M) を 可測空間 と言う.

Prop (X , M) を 可測空間とする. このとき, ∀n ∈ N ( An ∈ M ) ⇒ ∩n=1∞ An ∈ M M を集合代数とすれば , A , B ∈ M ⇒ A＼B ∈ M

( Proof )
(X , M) は測度空間なので, ∀n ∈ N ( A_n ∈ M) ⇒ A_n^c ∈ M.
これより, ∪_n=1^∞ A_n^c ∈ M.
故に, ∩_n=1^∞ A_n = (∪_n=1^∞ A_n^c)^c ∈ M.

また, M を X 上の集合代数とすると
A , B ∈ M ⇒ A^c , B^c ∈ M となるので
A^c ∪ B^c ∈ M となる.
故に, A ∩ B = (A^c ∪ B^c)^c ∈ M.

なのでこれより, A ＼ B = (A ∩ B^c) ∈ M となる.

Lebesgue積分と函数解析

こんにちは^^

2,3日前位に家にあった 「ルベーグ積分と関数解析」 の理工書を読み始めました。

これは中々分かりやすいな～と思いました。
まずは "Riemann積分" の復習から始まって、 "Lebesgue積分" との違いなどを簡単に説明して、まずは1次元Euclid空間Rで話を進めていき、最後に一般の空間Xでの話に発展させていっています。

学校の講義では濃度についてちょこっとやった後、いきなりσ - 加法族 及び 測度 の定義をやりました。
なので講義ではあまり「何故、この様に定義するのか(可算加法性についてです)」 が分からないというか感覚が掴めない状態だったんですけど、この本を読んで、納得致しました。

函数列{f_n(x)} がRiemann可積分であり、f(x) = lim_n→∞f_n(x) であるとき、必ずしもf(x) はRiemann可積分とは限らなかった。
なのでこれをLebesgue積分では補いたい。
といったところから可算加法性の必要性が出てくる訳ですね。

簡単に言えばRiemann積分は積分区間[a , b] を(被積分函数に関わらず)分割したのに対してLebesgue積分ではf(x)の値域を分割することによって求めます。

簡単なために 0 ≦ f(x) ≦ M とする。
f(x) と x = a , b と x軸 によって囲まれる領域の内、 k/N ＜ f(x) ＜ (k + 1)/N となる領域をD_k(0　≦　t　≦　NM - 1)とします。(値域をN分割した。)
ここで E_t ：= {x ∈ [a , b] ； f(x) ＞ t} と定義すれば　
E_{(k + 1)/N} × (k/N , (k + 1)/N]　⊂　D_k　⊂　E_k/N × (k/N , (k + 1)/N] となるので集合Eの "長さ" m(E) が定義されているとすれば
(1/N)m(E_{(k + 1)/N})　≦　(D_kの面積)　≦　(1/N)m(E_k/N)
ここで不足和・過剰和をそれぞれ
Σ_t=1^NM (1/N)m(E_t)　,　Σ_t=0^NM-1 (1/N)m(E_t)　と定めれば
不足和は単調増加、過剰和は単調減少なので 1/N → 0 とすればこれらは
∫₀^M m(E_t) dt に収束する。
故に
∫_a^b f(x) dx = ∫₀^M m(E_t) dt
をLebesgue積分と定義します。

続きはまた＾＾

アホか！？

こんにちは^^

今日は学校で "Lebesgue積分" の中間考査がありました。
手ごたえはと言うと・・・・・・

まったく無しです＿|￣|○


ここまで自分がアホだなんて思っても見ませんでした・・・・・・
試験が終わった瞬間、「あ、これ分かった」って問題が2問もありました＾＾；
これはなんなんでしょうね・・・・・・

なぜあんな問題が試験中に分からなかったんだ？？？
その問題の1つというのが

(R,B,μ) を Lebesgue測度空間とする。 このとき、μ( (0 , 1) ) , μ( [0 , 1] )を求めよ。

ってやつでした。

試験終了と同時に思った回答はこんな感じです↓↓

( Proof )

∀ε＞0 に対して (0 , 1 - ε]　⊂　(0 , 1)　⊂　(0 , 1 + ε]　_かつ　(0 , 1]　⊂　[0 , 1]　⊂　(0 - ε , 1]が成立するので

μ( (0 , 1 - ε] )　≦　μ( (0 , 1) )　≦　μ( (0 , 1 + ε] )
⇔　1 - ε ≦　μ( (0 , 1) )　≦　1 + ε
⇔　1　≦　μ( (0 , 1) ) ≦　1
⇔　μ( (0 , 1) ) = 1

μ( [0 , 1] ) についても同様に求められる。

といった感じなんですけどこれで良かったんですかね？？
まぁ、終わった事ですから復習するしかありませんね＾＾；

Lebesgue測度

前回の講義で "Lebesgue外測度" ・ "Lebesgue測度" をやりました。

ここに至るまでの経緯は・・・・・・
①． 集合の大きさを測るために "集合の濃度" を用いた.
②． 集合の大きさとして "濃度" を採用すると正確には(?)計れない.
③． "濃度" の代わりに "測度論" を導入してみる.
④． "σ - 加法族B" 及び "可算加法的測度μ" を定義した.
⑤． ある集合族が与えられた時、σ - 加法族の定義の "可算加法性" の CHECK が難しい.
⑥． なので条件を緩めた "有限加法族F" 及び "有限加法的測度m" を考える.
⑦． "有限加法的測度m" から "可算加法的測度μ" を作りたい！　
⑧． その為にF , m から作られる "カラテオドリーの外測度Γ" を用いる.
⑨． このΓに対して "Γ - 可測集合族m_Γ" は "σ - 加法族" となる.
⑩． またこのΓは "σ - 加法族m_Γ" で定義された "可算加法的測度" となる.
⑪． なのでこの時の "測度Γ" をμと書く.
⑫・ m が "可算加法性" を持つ時、m( E ) = Γ( E ) となる。(E ∈F)

ここで
R^Nに於いてFをR^Nの区間塊から成る集合、
f_j ： R → R^- (1≦ j ≦N) を単調非減少 _かつ右側連続とする。
I = (a₁ , b₁] ∪・・・∪(a_N , b_N] に対してm_ff = Π_n=1^N {f( b ) - f( a )} と定める。
この時を考えて、以下を定義する。

Def fj(x) = x と定めた時、 カラテオドリーの外測度Γff を "Lebesgue外測度" と言い、E ∈ mΓff を "Lebesgue可測集合" と言う。 またE ∈ mΓff の時、 Γff( E ) をμ( E ) と書いて "Lebesgue測度" と言う。

といった感じなのかな？
もし違ったら教えて下さい。m(__)m

ルベーグ積分

こんにちは^^

来週くらいから ドバーっと 中間試験 がやってきます^^;

って言っても俺は中間を行う試験が "ルベーグ積分" しかないので他の方々と比べるとかなり楽な方ですね。
ホントはこの他に "複素関数論" も試験がある予定だったのですがある人に言ったら恥ずかしい事情があって複素関数論は履修できませんでした。

複素関数論を一番やりたかったのに・・・・・・非常に残念です；
まぁ独学でやってるからいいっちゃいいんですけど！！

試験が1科目しかないってのは非常に楽な方ですよね。
しかも "ルベーグ積分" は今のところこれといって悩むところもありませんですし・・・

今までの講義で "集合の濃度 ・ σ-加法族(可算加法的測度) ・ 有限加法族(有限加法的測度) ・ 外測度 ・ ルベーグ測度 " くらいまでやったので これ + α が試験範囲になるんでしょうね。

ちゃんと流れも掴めてますし、証明に関しても(現段階でですよ・・・)ほとんど定理の内容をみれば方針も立って上手く行くので(行き過ぎなのかな)良い感じなのかなって思います。

これが普通なのかな・・・？？^^；

この科目も個人的には面白いかな～なんて思っているのでこれからが楽しみですね。

ルベーグ積分についても今後書いていこうかなと思ってます。