Lebesgue測度

前回の講義で "Lebesgue外測度" ・ "Lebesgue測度" をやりました。

ここに至るまでの経緯は・・・・・・
①． 集合の大きさを測るために "集合の濃度" を用いた.
②． 集合の大きさとして "濃度" を採用すると正確には(?)計れない.
③． "濃度" の代わりに "測度論" を導入してみる.
④． "σ - 加法族B" 及び "可算加法的測度μ" を定義した.
⑤． ある集合族が与えられた時、σ - 加法族の定義の "可算加法性" の CHECK が難しい.
⑥． なので条件を緩めた "有限加法族F" 及び "有限加法的測度m" を考える.
⑦． "有限加法的測度m" から "可算加法的測度μ" を作りたい！　
⑧． その為にF , m から作られる "カラテオドリーの外測度Γ" を用いる.
⑨． このΓに対して "Γ - 可測集合族m_Γ" は "σ - 加法族" となる.
⑩． またこのΓは "σ - 加法族m_Γ" で定義された "可算加法的測度" となる.
⑪． なのでこの時の "測度Γ" をμと書く.
⑫・ m が "可算加法性" を持つ時、m( E ) = Γ( E ) となる。(E ∈F)

ここで
R^Nに於いてFをR^Nの区間塊から成る集合、
f_j ： R → R^- (1≦ j ≦N) を単調非減少 _かつ右側連続とする。
I = (a₁ , b₁] ∪・・・∪(a_N , b_N] に対してm_ff = Π_n=1^N {f( b ) - f( a )} と定める。
この時を考えて、以下を定義する。

Def fj(x) = x と定めた時、 カラテオドリーの外測度Γff を "Lebesgue外測度" と言い、E ∈ mΓff を "Lebesgue可測集合" と言う。 またE ∈ mΓff の時、 Γff( E ) をμ( E ) と書いて "Lebesgue測度" と言う。

といった感じなのかな？
もし違ったら教えて下さい。m(__)m