Lebesgue積分と函数解析

こんにちは^^

2,3日前位に家にあった 「ルベーグ積分と関数解析」 の理工書を読み始めました。

これは中々分かりやすいな～と思いました。
まずは "Riemann積分" の復習から始まって、 "Lebesgue積分" との違いなどを簡単に説明して、まずは1次元Euclid空間Rで話を進めていき、最後に一般の空間Xでの話に発展させていっています。

学校の講義では濃度についてちょこっとやった後、いきなりσ - 加法族 及び 測度 の定義をやりました。
なので講義ではあまり「何故、この様に定義するのか(可算加法性についてです)」 が分からないというか感覚が掴めない状態だったんですけど、この本を読んで、納得致しました。

函数列{f_n(x)} がRiemann可積分であり、f(x) = lim_n→∞f_n(x) であるとき、必ずしもf(x) はRiemann可積分とは限らなかった。
なのでこれをLebesgue積分では補いたい。
といったところから可算加法性の必要性が出てくる訳ですね。

簡単に言えばRiemann積分は積分区間[a , b] を(被積分函数に関わらず)分割したのに対してLebesgue積分ではf(x)の値域を分割することによって求めます。

簡単なために 0 ≦ f(x) ≦ M とする。
f(x) と x = a , b と x軸 によって囲まれる領域の内、 k/N ＜ f(x) ＜ (k + 1)/N となる領域をD_k(0　≦　t　≦　NM - 1)とします。(値域をN分割した。)
ここで E_t ：= {x ∈ [a , b] ； f(x) ＞ t} と定義すれば　
E_{(k + 1)/N} × (k/N , (k + 1)/N]　⊂　D_k　⊂　E_k/N × (k/N , (k + 1)/N] となるので集合Eの "長さ" m(E) が定義されているとすれば
(1/N)m(E_{(k + 1)/N})　≦　(D_kの面積)　≦　(1/N)m(E_k/N)
ここで不足和・過剰和をそれぞれ
Σ_t=1^NM (1/N)m(E_t)　,　Σ_t=0^NM-1 (1/N)m(E_t)　と定めれば
不足和は単調増加、過剰和は単調減少なので 1/N → 0 とすればこれらは
∫₀^M m(E_t) dt に収束する。
故に
∫_a^b f(x) dx = ∫₀^M m(E_t) dt
をLebesgue積分と定義します。

続きはまた＾＾