近傍系公理

こんにちは＾＾

今日は Marines の試合が中止になってしまったので前回の続きです.

Metric.S.P に於いては "近傍" を用いて様々な概念を定義しましたが,Topological.S.P に於いては "開集合族" がこれの役割を果たします.
なのでまず, "開集合族" を用いて "近傍" を定義します.

Def 位相空間(X , O) の部分集合 N が点 P ∈ X の"近傍(neiborhoods)" である. ⇔ ∃U ∈ O ； p ∈ U ⊂ N . また,各点 p に対して p の作る近傍全体の族を "近傍系" と言いN(p)と書く.

これが "近傍" の定義です.

そして次の定理は "近傍(近傍系)" の性質です.

Th(近傍系の公理) Topological.S.P. (X , O) 上の点を p とする時,以下が成立する. [N1] X ∈ N(p)　,　N ∈ N(p) ⇒ p ∈ N [N2] N , M ∈ N(p) ⇒ N ∩ M ∈ N(p) [N3] N ∈ N(p) ∧ N ⊂ M ⇒ M ∈ N(p) [N4] N ∈ N に対して, ∃M ∈ N(p) ； N ⊂ M ∧ "q ∈ M ⇒ N ∈ N(q)

もちろん, これは証明が必要ですがこれはまた今度書きます＾＾