閉包

こんにちは^^

しばらく野球がないと何か寂しいですねぇ・・・・・
てなわけで続きです.

今回は "閉包" です.

とある本で,閉包の定義が以下の様に記されていました.

Cor(Def)[閉包] 位相空間(X , O) の部分集合 A に対して, A を含む最小の閉集合 B が存在する これを "A の閉包" と言い, これをA(_) , Aa と書く.

そして今, 使用している本には以下の様に記されていました.

Def[閉包] 位相空間(X , O) の 点 p ∈ X と 部分集合 A に対して, p が "A の触点" である ⇔ ∀N ∈ N(p) に対して, N ∩ A ≠ φ . この p 全体の集合を A(_) 或いは Aa と書いて "A の閉包" と言う.

大体の本で見られるのは後者の方ですよね.

ここで, この Cor の Proof をします.
( Proof )
{F_λ}_λ∈Λ を F_λ ⊃ A _かつ F_λ : closed set を満たす集合族とする.
この時, B := ∩_λ∈Λ F_λ と置くと B ⊂ X なので, これが
(1) B : closed set
(2) ∀F ⊃ A (F : closed set) に対して, B ⊂ F .
を満たす事を示せば良い.

[ (1) の Proof ]
閉集合の公理 より明らか　(閉集合の公理についてはまた今度upします)

[ (2) の Proof ]
∀F (⊃ A) : closed set , ∃λ₀ ∈ Λ ； F = F_λ0 .
故に,
F = F_λ0 ⊃ ∩_λ∈Λ F_λ

となる.

ではまた^^

基本近傍系

こんばんは^^

前回の続きです.

Def 位相空間(X , O) の各点 p ∈ X に対して, FN(p) ⊂ N(p) が基本近傍系である ⇔ ∀N ∈ N(p) , ∃M ∈ FN(p) ； M ⊂ N

これが基本近傍系の定義です.
そして以下が基本近傍系の公理です.

TH(基本近傍系の公理) Topological.S.P (X , O) 上の点pに於いて基本近傍系FN(p)は以下を満たす. [FN1] V ∈ FN(p) ⇒ p ∈ V [FN2] V1 , V2 ∈ FN(p) ⇒ ∃V3 ∈ FN(p) ； V3 ⊂ V1 ∩ V2 [FN3] V1 ∈ FN(p) に対して, ∃V2 ∈ FN(p) ； "q ∈ V2 ⇒ ∃V3 ∈ FN(q) ； V3 ⊂ V1"

(Proof)
[FN1]
V ∈ FN(p) ⇒ V ∈ N(p) ⇒ p ∈ V

[FN2]
V₁ , V₂ ∈ FN(p) ⇒ V₁ , V₂ ∈ N(p) ⇒ V₁ ∩ V₂ ∈ N(p)
故に, ∃ V₃ ∈ FN(p) ； V₃ ⊂ V₁ ∩ V₂ .

[FN3]
V₁ ∈ FN(p) ⇒ V₁ ∈ N(p) .
故に, ∃ M ∈ N(p) ； M ⊂ V₁ ∧ " q ∈ M ⇒ V₁ ∈ N(q) " .
また, M ∈ N(p) ゆえ ∃ V₂ ∈ FN(p) ； V₂ ⊂ M .
さらに, q ∈ V₂ ⇒ q ∈ M ⇒ V₁ ∈ N(q) ⇒ ∃ V₃ ∈ FN(q) ； V₃ ⊂ V₁ .

ではこの辺で^^

近傍系の公理(証明)

こんにちは^^

今日は学校の都合でさっき家に帰ってきたばかりです。
なので家に帰って直ぐに J sports 1 を付けたら・・・・・・・・・・・・

15 - 3


一気に見る気が無くなってしまいました・・・・・・

今日は小林宏之投手に始まり,投手陣大崩壊という日になってしまいました・・・
ここで一気にやられて気を引き締めよう！ってことか！

藤田投手が特に危険ですね～
これでは川崎投手のほうが信頼できますよ・・・
復活を願うばかりです！

---

ってことでここからは違う話題です.

今日はちゃんと試合も見てないのでね　それにこの試合を忘れたい

では昨日の Theory の Proof です.

Th(近傍系の公理) Topological.S.P. (X , O) 上の点を p とする時,以下が成立する. [N1] X ∈ N(p)　,　N ∈ N(p) ⇒ p ∈ N [N2] N , M ∈ N(p) ⇒ N ∩ M ∈ N(p) [N3] N ∈ N(p) ∧ N ⊂ M ⇒ M ∈ N(p) [N4] N ∈ N に対して, ∃M ∈ N(p) ； N ⊂ M ∧ "q ∈ M ⇒ N ∈ N(q)

( Proof )
[N1]
　X ∈ O ゆえ, p ∈ X ⊂ X となるので X ∈ N(p).
　また,
　N ∈ N(p) ⇒ ∃U ∈ O ； p ∈ U ⊂ N . 故に p ∈ N .

[N2]
　N , M ∈ N(p) ゆえ ∃U , V ∈ O ； p ∈ U ⊂ N ∧ p ∈ V ⊂ M .
　故に, p ∈ U ∩ V ⊂ N ∩ M となるので,　N ∩ M ∈ N(p) となる.

[N3]
　N ∈ N(p) ゆえ ∃U ∈ O ； p ∈ U ⊂ N .
　また N ⊂ M なので, p ∈ U ⊂ M .　　　故に, M ∈ N(p) .

[N4]
　N ∈ N(p) ゆえ ∃U ∈ O ； p ∈ U ⊂ N .
　U ∈ N(p) なので M = U と置けば,
　q ∈ M ⇒ q ∈ M = U ⊂ N となるので N ∈ N(p) が分かる.　　　　　　　　　　　　■

といった感じですかね.

近傍系公理

こんにちは＾＾

今日は Marines の試合が中止になってしまったので前回の続きです.

Metric.S.P に於いては "近傍" を用いて様々な概念を定義しましたが,Topological.S.P に於いては "開集合族" がこれの役割を果たします.
なのでまず, "開集合族" を用いて "近傍" を定義します.

Def 位相空間(X , O) の部分集合 N が点 P ∈ X の"近傍(neiborhoods)" である. ⇔ ∃U ∈ O ； p ∈ U ⊂ N . また,各点 p に対して p の作る近傍全体の族を "近傍系" と言いN(p)と書く.

これが "近傍" の定義です.

そして次の定理は "近傍(近傍系)" の性質です.

Th(近傍系の公理) Topological.S.P. (X , O) 上の点を p とする時,以下が成立する. [N1] X ∈ N(p)　,　N ∈ N(p) ⇒ p ∈ N [N2] N , M ∈ N(p) ⇒ N ∩ M ∈ N(p) [N3] N ∈ N(p) ∧ N ⊂ M ⇒ M ∈ N(p) [N4] N ∈ N に対して, ∃M ∈ N(p) ； N ⊂ M ∧ "q ∈ M ⇒ N ∈ N(q)

もちろん, これは証明が必要ですがこれはまた今度書きます＾＾

位相空間(Topology)

こんばんは^^

今日は "位相空間(Topology Space)" をちょこっとやりました.
"距離空間(Metric Space)" に関しては去年,勉強しましたが "位相空間" をやるのは初めてです.
(もちろん, "距離空間" は独学です^^;)
授業はあまり出る気になれなかった

まずは, "位相(Topology)" の定義です.
内容的には "Metric S.P" に於ける "開集合(Open Set)" の性質を抽象化したものです.

Def X(:set) の部分集合族O が次を満たす時,O を X 上の位相と言い, X と X 上の位相Oの組(X , O) を位相空間と言う. [O1] X ∈ O , φ ∈ O [O2] O1 , ・・・・・・ , On ∈ O ⇒ ∩k=1n Ok ∈ O [O3] ∀λ ∈ Λ ( Oλ ) ⇒ ∪λ∈Λ Oλ ∈ O

位相空間(X , O)に対してU ∈ O なる U を "開集合" と定義します.

距離空間に於いては "ε - 近傍" を用いて "開集合" , "閉集合" , "連続写像" 等を表したが位相空間に於いてはこの役割を X の開集合族O が果します.
なのでこの開集合族を用いて "ε - 近傍" を表します.

このことはまた^^