基本近傍系

こんばんは^^

前回の続きです.

Def 位相空間(X , O) の各点 p ∈ X に対して, FN(p) ⊂ N(p) が基本近傍系である ⇔ ∀N ∈ N(p) , ∃M ∈ FN(p) ； M ⊂ N

これが基本近傍系の定義です.
そして以下が基本近傍系の公理です.

TH(基本近傍系の公理) Topological.S.P (X , O) 上の点pに於いて基本近傍系FN(p)は以下を満たす. [FN1] V ∈ FN(p) ⇒ p ∈ V [FN2] V1 , V2 ∈ FN(p) ⇒ ∃V3 ∈ FN(p) ； V3 ⊂ V1 ∩ V2 [FN3] V1 ∈ FN(p) に対して, ∃V2 ∈ FN(p) ； "q ∈ V2 ⇒ ∃V3 ∈ FN(q) ； V3 ⊂ V1"

(Proof)
[FN1]
V ∈ FN(p) ⇒ V ∈ N(p) ⇒ p ∈ V

[FN2]
V₁ , V₂ ∈ FN(p) ⇒ V₁ , V₂ ∈ N(p) ⇒ V₁ ∩ V₂ ∈ N(p)
故に, ∃ V₃ ∈ FN(p) ； V₃ ⊂ V₁ ∩ V₂ .

[FN3]
V₁ ∈ FN(p) ⇒ V₁ ∈ N(p) .
故に, ∃ M ∈ N(p) ； M ⊂ V₁ ∧ " q ∈ M ⇒ V₁ ∈ N(q) " .
また, M ∈ N(p) ゆえ ∃ V₂ ∈ FN(p) ； V₂ ⊂ M .
さらに, q ∈ V₂ ⇒ q ∈ M ⇒ V₁ ∈ N(q) ⇒ ∃ V₃ ∈ FN(q) ； V₃ ⊂ V₁ .

ではこの辺で^^