閉包

こんにちは^^

しばらく野球がないと何か寂しいですねぇ・・・・・
てなわけで続きです.

今回は "閉包" です.

とある本で,閉包の定義が以下の様に記されていました.

Cor(Def)[閉包] 位相空間(X , O) の部分集合 A に対して, A を含む最小の閉集合 B が存在する これを "A の閉包" と言い, これをA(_) , Aa と書く.

そして今, 使用している本には以下の様に記されていました.

Def[閉包] 位相空間(X , O) の 点 p ∈ X と 部分集合 A に対して, p が "A の触点" である ⇔ ∀N ∈ N(p) に対して, N ∩ A ≠ φ . この p 全体の集合を A(_) 或いは Aa と書いて "A の閉包" と言う.

大体の本で見られるのは後者の方ですよね.

ここで, この Cor の Proof をします.
( Proof )
{F_λ}_λ∈Λ を F_λ ⊃ A _かつ F_λ : closed set を満たす集合族とする.
この時, B := ∩_λ∈Λ F_λ と置くと B ⊂ X なので, これが
(1) B : closed set
(2) ∀F ⊃ A (F : closed set) に対して, B ⊂ F .
を満たす事を示せば良い.

[ (1) の Proof ]
閉集合の公理 より明らか　(閉集合の公理についてはまた今度upします)

[ (2) の Proof ]
∀F (⊃ A) : closed set , ∃λ₀ ∈ Λ ； F = F_λ0 .
故に,
F = F_λ0 ⊃ ∩_λ∈Λ F_λ

となる.

ではまた^^