Lebesgue外測度

今日の Marines の試合は雨天中止となったみたいですね.
個人的には非常に残念です・・・・・・・・・・・・が チーム にとっては良かったのでしょうか・・・

もうここらが山場となっていますよね.
ホントにきつくなってきてしまいましたね・・・・・・

ってことで明日からに期待です!!
(晴れたらですが・・・・・・)

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では話はガラッと変わります.
前回の Lebesgue積分の続きです.

1次元 Euclid 空間R での Lebesgue測度についての話です.

Def[Lebesgue外測度] A ⊂ R に対して, A を覆う加算個の開区間の長さの総和の極限 m* := inf{Σn=1∞ |In| ； A ⊂ ∪n=1∞ In} を Lebesgue外測度 と言う . 但し, |(a , b)| = b - a .

A を R 上の1点集合とする ： A = {a} (a ∈ R).
このとき, m^*(A) = 0 .

( Proof )
m^*((a , b)) = m^*([a , b])　－ (☆) より,
∀ε ＞ 0 に対して,
A = {a} ⊂ ∪_n=1^∞ [a , a + ε/2ⁿ] なので,
0 ≦ m^* ≦ Σ_n=1^∞ a + ε/2ⁿ - a
⇔ 0 ≦ m^*(A) ≦ ε
故に, ε は任意だったので m^*(A) = 0 となる.　　　■